[Перевод] У парадокса голосования нашлась форма: это бутылка Клейна
Три равные группы избирателей, три кандидата, у каждой группы вполне связный рейтинг, а при попарном сравнении Алиса обыгрывает Боба, Боб обыгрывает Кэрол, Кэрол обыгрывает Алису. Этот цикл описал Кондорсе в 1785 году, а в 1951-м Кеннет Эрроу доказал, что ни одна система голосования не выполняет сразу несколько простых демократических требований. Теперь трое математиков из Сиднея и Ченнаи показали, что у парадокса есть форма. Если изобразить каждый из шести возможных бюллетеней треугольником и склеить их, получится трубка, на краях которой лежат циклы Кондорсе. Склеить края без противоречий можно только с перекрутом, и тогда трубка превращается в бутылку Клейна — поверхность, у которой нет отдельной внутренней и внешней стороны. Читать далее