Первая часть шестнадцатой проблемы Гильберта: обзор по кривым 6 и 7 степени
В моей прошлой статье https://habr.com/ru/articles/1090172/ мной был предложен и реализован программно алгоритм полного перебора всех схем степени 8. https://gitverse.ru/mshshukin2005/real-schemes-degree8 . Свой результат я оформил как препринт и опубликовал его здесь: https://zenodo.org/records/23240531 . С учётом более поздних обзоров https://www.math.stonybrook.edu/~oleg/math/papers/1989-PloVeAlgKr-postr.pdf и работ Оревкова (S. Yu. Orevkov. Classification of flexible M -curves of degree 8 up to isotopy // Geom. Funct. Anal. — 2002. — Vol. 12, no. 4. — P. 723–755.) верхняя оценка была уменьшена до 2861 схемы степени 8. Таким образом, учитывая результат Z. Geiselmann, M. Joswig, L. Kastner et al. Limits of combinatorial patchworking https://arxiv.org/pdf/2602.06888 — 2026. в 2367 схем Т-кривых, для полной систематизации октан остаётся реализовать (либо запретить) не более 494 схем. Алгоритм полного перебора с учётом ограничений обобщается на произвольную степень. Опираясь на статью Ю. Численко Chislenko, Y.S. M-curves of degree 10. J Math Sci 26, 1689–1699 (1984). https://doi.org/10.1007/BF01106447 , мне удалось реализовать его для М-кривых степени 10 ( это только предварительный подсчёт ). ( https://gitverse.ru/mshshukin2005/real-schemes-M-curves-degree10 ). Контроль корректности подсчёта: перебор выполнен двумя путями — прямым порождением комбинаторных формул и развёрткой полного списка полиномов с последующей канонизацией (устранение дубликатов); Только для М-кривых степени 10 получается точная верхняя оценка в 71592 схемы, что отлично согласуется с приближённой оценкой Численко в "около 70000". Полный перебор полученных комбинаторных формул совпал с результатом для списка с дубликатами. Полный прогон с верификацией для степени 10 планируется выполнить; результаты будут опубликованы в репозитории по мере готовности. В этой статье мы сделаем упор на шестую и седьмую степени. Напомним, что для них полная классификация уже завершена: Читать далее